روش اجزاء محدود یا روش المان محدود (به انگلیسی: Finite Element Method) که به اختصار (FEM) نامیده می‌شود، روشی است عددی برای حل تقریبی معادلات دیفرانسیل جزئی و نیز حل معادله‌های انتگرالی. (کاربرد عملی اجزای محدود معمولاً با نام تحلیل اجزا محدود (FEA) خوانده می‌شود) اساس کار این روش حذف کامل معادلات دیفرانسیل یا ساده‌سازی آنها به معادلات دیفرانسیل معمولی، که با روشهای عددی مانند اویلر حل می‌شوند، می‌باشد. در حل معادلات دیفرانسیل جزئی مسئله مهم این است که به معادله ساده‌ای که از نظر عددی پایداراست -به این معنا که خطا در داده‌های اولیه و در حین حل به حدی نباشد که به نتایج نامفهوم منتهی شود- برسیم. روشهایی با مزایا و معایب مختلف برای این امر وجود دارد، که روش اجزاء محدود یکی از بهترین آنهاست. این روش درحل معادلات دیفرانسیل جزئی روی دامنه‌های پیچیده (مانند وسایل نقلیه و لوله‌های انتقال نفت)، یا هنگامی که دامنه متغیر است، یا وقتی که دقت بالا در همه جای دامنه الزامی نیست یا اگر نتایج همبستگی و یکنواختی کافی را ندارند، بسیار مفید می‌باشد. به عنوان مثال در شبیه‌سازی یک تصادف در قسمت جلوی خودرو، نیازی به دقت بالای نتایج در عقب خودرو نیست. همچنین در شبیه‌سازی و پیش بینی هوا روی کره زمین، هوای روی خشکی اهمیت بیشتری نسبت به هوای روی دریا دارد. تقسیم ناحیه به نواحی کوچکتر دارای مزایای زیادی است از جمله: نمایش دقیق هندسه پیچیده، گنجایش ویژگی‌های متفاوت جسم، درک ویژگی‌های موضعی جسم.

تاریخچه

پیدایش روش اجزاء محدود به حل مسائل پیچیدهٔ الاستیسیته و تحلیل سازه‌ها در مهندسی عمران و هوا فضا برمیگردد. این روش حاصل کار الکساندر هرنیکوف (۱۹۴۱) و ریچارد کورانت (۱۹۴۲) می‌باشد. با این که روش کار این دو دانشمند کاملاً متفاوت بود، اما یک ویژگی مشترک داشت: تقسیم یک دامنهٔ پیوسته (ماده) به یک سری زیردامنه (قطعات کوچکتر ماده) به نام المان (اجزاء).

نرم‌افزارهای FEM

• آباکوس (Abaqus)
• انسیس (Ansys)
• نسترن (Nastran)
• کامسول (Comsol)
• ماکسول (Maxwell) (در زمینه الکترومغناطیس)
• پلکسیس (PLAXIS)
• دایانا (DIANA)

 

 

فهرست مطالب:

فصل اول: تحليل خطی عناصر محدود صفحات و پوسته ها

مبانی روش عناصر محدود

مدل های ریاضی

روش های حل مدل های رياضی

روش مستقیم

روش وردشی

روش Ritz

اصل تغيير مکان های مجازی و رابطه آن با اصل وردشی

دو روش اساسی در فرمول بندی روش عناصر محدود

نحوه استخراج معادلات روش عناصر محدود

دو نظريه در مورد خمش صفحات

تیرها

صفحات

استخراج معادله ديفرانسيل حاکم بر خمش صفحه

تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از روش مختصات تعميم يافته بر مبنای نظريه Kirchhoff

تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از عناصر ايزوپارامتريک بر مبنای نظريه Reissner/Mindlin

فرمول بندی آميخته

تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از فرمول بندی آميخته

تحليل عناصر محدود پوسته ها

طبقه بندی پوسته ها

پوسته های مدوری که در آنها ضخامت سازه نسبت به قطرش کوچک است

اجسام جامد مدوری که ضخامت آنها در مقايسه با قطرشان قابل ملاحظه است

و...

فصل دوم: تحليل غیرخطی عناصر محدود

فرضیات اساسی در تحلیل خطی عناصر محدود

مقدمه

چالش های اساسی در تحلیل غیرخطی

مساله اساسی در تحلیل غیرخطی

روش بنیادی در تحلیل غیرخطی

بردار بار خارج از توازن

روش نیوتن-رافسون

فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته

معیار کرنش Green-Lagrange

تعریف گرادیان تغییرشکل

تانسورهای تغییر شکل راست و چپ Cauchy-Green

تجزیه قطبی گرادیان تغییر شکل

ماتریس های کشامد راست و چپ

معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff

رابطه کار مجازی داخلی با استفاده از معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff و معیار کرنش Green-Lagrange

فرمول بندی لاگرانژی کلی و لاگرانژی به هنگام شده مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطی

فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی عناصر محدود پیوسته ( شامل کرنش مسطح، تنش مسطح، متقارن محوری، سه بعدی عمومی)

ماتریس های مورد نیاز برای تحلیل غیرخطی عناصر محدود پیوسته دو بعدی

ماتریس های مورد نیاز برای تحلیل غیرخطی عناصر محدود پیوسته عنصر جامد سه بعدي

فرمول بندی تحلیل غیرخطی عناصر محدود سازه ای

عناصر تیری

عناصر خمش صفحه و پوسته عمومی

کاربرد روابط مشخصه

رفتار ارتجاعی مصالح

رفتار غیر ارتجاعی مصالح

مبانی بنیادی پلاستیسیته

پلاستيسيتة ايزوتروپيك

تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك

شرط تسليم براي تغيير شكل هاي سه بعدي عمومي

روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي

سخت شدگي در حالت سه بعدي

تحلیل غیرخطی صرف مصالح

و...

فصل سوم: حل معادلات غیرخطی

مقدمه

روش‌ تكراري Newton-Raphson

برخي از خواص مهم روش حل Newton-Raphson

روشهاي تعديل الگوريتم تام Newton-Raphson

روش BFGS

کليات روش BFGS

روش های نیرو-تغییر مکان-قید

ناپایداری نقطه حدی

لزوم انجام تحلیل فراتر از نقطه حدی

روشهای انجام تحلیل فراتر از نقطه حدی

روشهای مهم طول-کمان بهمراه معادلات قیدی مربوطه

روش Riks

روش Ramm

روش Crisfield

معیارهای همگرايي

معیار همگرایی تغییر مکان

حل معادلات غير خطي در تحليل ديناميکي

روش هاي انتگرال گيري مستقيم

انتگرال گيري صريح

روش هاي انتگرال گيري ضمني در تحليل خطي

و...

فصل چهارم: محاسبات خطا و روش هاي ايجاد شبکه با خطاي يکنواخت

همگرايي نتايج تحليل

مساله مدل

مساله فیزیکی

مدل ریاضی

ملاحظات همگرايي در تحليل عناصر محدود

خطاهاي تحليل عناصر محدود

ضرورت شناخت منابع خطا

بيان اصل کار مجازي به فرم خطي و دوخطي و استفاده از آن در تعريف همگرايي

معيارهاي همگرايي يکنوا

شرط کامل بودن یک عنصر

روش هاي تعيين تعداد مودهاي صلب جسمي

ضرورت وجود حالات کرنش ثابت از نکته نظر فيزيکي

شرط سازگاري از نکته نظر فيزيکي

شرط سازگاري از نکته نظر رياضي

بررسي سازگاري در انواع عناصر سازه اي

حل عناصر محدود همگراي يكنوا

آشنايي با حل عناصر محدود به روش Ritz

خواص جواب‌ هاي عناصر محدود

و...