روش اجزاء محدود یا روش المان محدود (به انگلیسی: Finite Element Method) که به اختصار (FEM) نامیده می‌شود، روشی است عددی برای حل تقریبی معادلات دیفرانسیل جزئی و نیز حل معادله‌های انتگرالی. (کاربرد عملی اجزای محدود معمولاً با نام تحلیل اجزا محدود (FEA) خوانده می‌شود) اساس کار این روش حذف کامل معادلات دیفرانسیل یا ساده‌سازی آنها به معادلات دیفرانسیل معمولی، که با روشهای عددی مانند اویلر حل می‌شوند، می‌باشد. در حل معادلات دیفرانسیل جزئی مسئله مهم این است که به معادله ساده‌ای که از نظر عددی پایداراست -به این معنا که خطا در داده‌های اولیه و در حین حل به حدی نباشد که به نتایج نامفهوم منتهی شود- برسیم. روشهایی با مزایا و معایب مختلف برای این امر وجود دارد، که روش اجزاء محدود یکی از بهترین آنهاست. این روش درحل معادلات دیفرانسیل جزئی روی دامنه‌های پیچیده (مانند وسایل نقلیه و لوله‌های انتقال نفت)، یا هنگامی که دامنه متغیر است، یا وقتی که دقت بالا در همه جای دامنه الزامی نیست یا اگر نتایج همبستگی و یکنواختی کافی را ندارند، بسیار مفید می‌باشد. به عنوان مثال در شبیه‌سازی یک تصادف در قسمت جلوی خودرو، نیازی به دقت بالای نتایج در عقب خودرو نیست. همچنین در شبیه‌سازی و پیش بینی هوا روی کره زمین، هوای روی خشکی اهمیت بیشتری نسبت به هوای روی دریا دارد. تقسیم ناحیه به نواحی کوچکتر دارای مزایای زیادی است از جمله: نمایش دقیق هندسه پیچیده، گنجایش ویژگی‌های متفاوت جسم، درک ویژگی‌های موضعی جسم.

تاریخچه

پیدایش روش اجزاء محدود به حل مسائل پیچیدهٔ الاستیسیته و تحلیل سازه‌ها در مهندسی عمران و هوا فضا برمیگردد. این روش حاصل کار الکساندر هرنیکوف (۱۹۴۱) و ریچارد کورانت (۱۹۴۲) می‌باشد. با این که روش کار این دو دانشمند کاملاً متفاوت بود، اما یک ویژگی مشترک داشت: تقسیم یک دامنهٔ پیوسته (ماده) به یک سری زیردامنه (قطعات کوچکتر ماده) به نام المان (اجزاء).

نرم‌افزارهای FEM

• آباکوس (Abaqus)
• انسیس (Ansys)
• نسترن (Nastran)
• کامسول (Comsol)
• ماکسول (Maxwell) (در زمینه الکترومغناطیس)
• پلکسیس (PLAXIS)
• دایانا (DIANA)

 

فهرست مطالب:

فصل اول: مقدمه ای بر روش عناصر محدود

تاريخچه روش عناصر محدود

مدل هاي رياضي و روش عناصر محدود

مدل رياضي پارامتر متمركز يا گسسته سيستم

مدل رياضي پيوسته سيستم

حوزه هاي كاربرد روش عناصر محدود

فرآيند تحليل عناصر محدود

سلسله مراتب مدل ها

معيارهاي بررسي دقت حل عناصر محدود

ايده بنيادي روش عناصر محدود و ارتباط آن با تحليل ماتريسي سازه های اسکلتی

بسته هاي نرم افزاري عناصر محدود و نحوه توسعه و حوزه كاركردي آنها

فرض های مورد استفاده در روش عناصر محدود

روش سختی در تحلیل عناصر محدود

و...

فصل دوم: مقدمه اي بنيادي بر روش عناصر محدود و مباني رياضي آن

فرق تحليل يك محيط پيوسته با تحليل يك محیط گسسته

مراحل مشابه تحليل سازه هاي اسكلتي و پيوسته

روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم

روش مستقیم

روش وردشی

اصل موضوع اول

اصل موضوع دوم

روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم

روش فرمول بندی دیفرانسیلی

مسائل مقدار مرزی

مسائل مقدار اولیه

روش وردشی در سیستم های پیوسته

روش Ritz در حل معادلات دیفرانسیل

روش Galerkin در حل معادلات دیفرانسیل

اصل تغییر مکان های مجازی (Principle of virtual Displacements) و رابطه آن با روش وردشی

تعریف اصل تغییر مکان های مجازی

و...

فصل سوم: فرمول بندی روش عناصر محدود در تحليل خطی

مقدمه

نحوه استخراج معادلات روش عناصر محدود

مراحل تشکیل ماتریس سختی در روش عناصر محدود در تحلیل ایستایی

ارتباط تغییر مکان ها در درون هر عنصر بر حسب تغییر مکان های نقاط گرهی عنصر (یا مجموعه همبسته عناصر)

ارتباط کرنش ها در درون هر عنصر بر حسب تغییر مکان های نقاط گرهی عنصر (یا مجموعه همبسته عناصر)

ارتباط تنش ها در درون هر عنصر بر حسب کرنش ها و تنش های اولیه عنصری یا بر حسب تغییر مکان های نقاط گرهی عنصر (یا مجموعه همبسته عناصر)

اعمال اصل تغییر مکان های مجازی و استخراج ماتریس سختی سازه (در مختصات کلی) و بردار بار (در مختصات کلی)

درجات آزادی محلی عنصری و درجات آزادی کلی سازه

مدل هاي مختصات تعميم يافته (Generalized Coordinates Models) براي استخراج ماتريس سختی عناصر محدود براي مسائل خاص

مفهوم مدل هاي مختصات تعميم يافته

عناصر تیری

تير Euler-Bernouli

تير Timoshenko

مراحل تشکیل ماتریس سختی عنصر تیری دو گرهی

بررسی دو نظریه در مورد صفحات

نظریه صفحه Kirchhoff

نظریۀ صفحه Reissner/Mindlin

نحوه استخراج معادلات حاکم بر خمش صفحه

مولفه های تغییر مکان تعمیم یافته

مولفه های کرنش

مولفه های تنش

بررسی پیوستگی تغییر مکان ها و دورا ن ها در المان محدود مستطیلی برای مسائل خمش صفحه

عناصر با محور تقارن

و...

فصل چهارم: فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك

مقدمه

دشواري هاي مدل هاي مختصات تعميم يافته

فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته

توابع درون يابي عنصر يك بعدي

توابع درون يابي عنصر دو بعدي

توابع درون يابي عنصر سه بعدي

نحوه تعيين ماتريس سختي عنصر ايزوپارامتريك

بحثی در مورد انتگرال گیری عددی با استفاده از روش انتگرال گیری عددی Gauss-Legendre

انتگرال گیری عددی گوسی در میدان های چهار ضلعی

مرتبه مناسب انتگرال گیری عددی

مرتبه هاي توصيه شده انتگرال گيري عددي تام گوسي

دو طريقه استفاده از انتگرال گيري عددي در تعيين ماتريس سختي عنصر ايزوپارامتريك

توابع درون یابی عنصر مثلثی دو بعدی و عناصر چهار وجهی (گوه ای) سه بعدی

انتگرال گیری عددی گوسی در میدان های مثلثی

شرایط همگرایی یکنوا (Monotonic convergence) در عناصر ایزوپارامتریک محيط پيوسته

بررسی سازگاری

بررسی کامل بودن

فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي

محاسن روش ايزوپارامتريك در فرمول بندي تيرها

محاسن روش ايزوپارامتريك در فرمول بندي صفحه ها

عناصر تیری

عناصر تيري مستقيم دو بعدي

و...